Lời giải:

PT có 2 nghiệm pb khi:

$\Delta'=m^2+m(2m+1)>0\Leftrightarrow m(3m+1)>0\Leftrightarrow m>0$ hoặc $m< \frac{-1}{3}(*)$

Theo định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=\frac{-(2m+1)}{m}\end{matrix}\right.\) . Khi đó:

$x_1^2+2x_1x_2^2+3x_2^2=4x_1+5x_2-1$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2+2x_2^2=4(x_1+x_2)+x_2-1$

$\Leftrightarrow 4+2x_2^2=7+x_2$

$\Leftrightarrow 2x_2^2-x_2-3=0$

$\Leftrightarrow x_2=\frac{3}{2}$ hoặc $x_2=-1$

$x_2=\frac{3}{2}$ thì $x_1=\frac{1}{2}$

$\frac{-(2m+1)}{m}=x_1x_2=\frac{3}{4}\Leftrightarrow m=\frac{-4}{11}$
$x_2=-1$ thì $x_1=3$

$\frac{-(2m+1)}{m}=x_1x_2=-3\Leftrightarrow m=1$

(hai giá trị trên đều thỏa mãn)

Đáp án đúng : B

\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+1=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(2m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+1\right)\)

                      \(=\left(4m^2+4m+1\right)-4m^2-4\)

                      \(=4m-3\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì \(\Delta>0\Leftrightarrow4m-3>0\Leftrightarrow4m>3\Leftrightarrow m>\dfrac{3}{4}\)

Theo Vi ét, ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+1\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(\left(x_1+1\right)^2+\left(x_2+1\right)^2=13\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1+1+x_2^2+2x_2+1=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_1^2\right)+\left(2x_1+2x_2\right)+2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-2\left(m^2+1\right)+2\left(2m+1\right)-11=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-2m^2-2+4m+2-11=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2+8m-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\left(tm\right)\\m=-5\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 1 thì thỏa mãn đề bài.

∆ = [-(2m + 1)]² - 4.1.(m² + 1)

= 4m² + 4m + 1 - 4m² - 4

= 4m - 3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0

⇔ 4m - 3 > 0

⇔ m > 3/4

Theo Viét ta có:

x₁ + x₂ = 2m + 1

x₁x₂ = m² + 1

Ta có:

(x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² = 13

⇔ x₁² + 2x₁ + 1 + x₂² + 2x₂ + 1 = 13

⇔ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) + 2 = 13

⇔ (2m + 1)² - 2(m² + 1) + 2(2m + 1) + 2 = 13

⇔ 4m² + 4m + 1 - 2m² - 2 + 4m + 2 + 2 - 13 = 0

⇔ 2m² + 8m - 10 = 0

Phương trình có hai nghiệm:

m = 1 (nhận)

m = -5 (loại)

Vậy m = 1 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn (x₁ + 1)² + (x₂ + 1)² = 13

Δ=(2m+1)^2-4(m^2+1)

=4m^2+4m+1-4m^2-4=4m-3

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m-3>0

=>m>3/4

(x1+1)^2+(x2+1)^2=13

=>x1^2+x2^2+2(x1+x2)+2=13

=>(x1+x2)^2-2x1x2+2(x1+x2)=11

=>(2m+1)^2-2(m^2+1)+2(2m+1)=11

=>4m^2+4m+1-2m^2-2+4m+2=11

=>4m^2+6m-10=0

=>m=1 hoặc m=-5/2(loại)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ ∆ = 5² – 4(3m + 1) > 0 ⇔ 21 – 12m > 0

 ó m < 21/12 

Với m < 21/12 , ta có hệ thức  x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 3 m + 1   V i e t '

⇒ | x 1 − x 2 | = ( x 1 − x 2 ) 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = 5 2 − 4 ( 3 m + 1 ) = 21 − 12 m = > | x 1 2 − x 2 2 | = | ( x 1 + x 2 ) ( x 1 − x 2 ) | = | 5 ( x 1 − x 2 ) | = 5 | x 1 − x 2 | = 5 21 − 12 m

Ta có:  | x 1 2 − x 2 2 | = 15 ⇔ 5 21 − 12 m = 15 ⇔ 21 − 12 m = 3 ⇔ 21 − 12 m = 9 ⇔ 12 m = 12 ⇔ m = 1 (t/m)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm